计算机图形学2

三维

$\begin{pmatrix} x,y,z,1 \end{pmatrix}$表示point, $\begin{pmatrix}x,y,z,0\end{pmatrix}$表示vector

$$\begin{pmatrix} x^{'} \\ y^{'}\\ z^{'} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b&c&dx\\d&e&f&dy\\g&h&i&dz\\0&0&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \\1 \end{pmatrix}$$

旋转

旋转矩阵是正交矩阵，正交矩阵的转置与它的逆相同
假设绕某个轴旋转

$$\mathbf{R}_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\0&\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{R}_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha&0&\sin\alpha&0\\0&1&0&0\\-\sin\alpha&0&\cos\alpha&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{R}_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha&0&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$$

$x \times z$ 沿 $y$ 轴负方向，所以绕 $y$ 轴旋转时正负号有所变化

自由旋转

$$\mathbf{R}_x(\alpha,\beta,\gamma) = \mathbf{R}_x(\alpha)\mathbf{R}_x(\beta)\mathbf{R}_x(\gamma)$$

称为Euler angles(欧拉角)，将复杂的旋转分解为绕三个轴不同程度的旋转

Rodrigues’ Rotation Formula

默认旋转轴经过原点，将物体以$n$为轴转$\alpha$角度

$$\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha) = \cos(\alpha)\mathbf{I} + (1-\cos(\alpha))\mathbf{n}\mathbf{n}^T + \sin(\alpha)\begin{pmatrix} 0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0 \end{pmatrix}$$

View Transformation 视图变换

MVP变换->model、view、projection（模型、视图、投影）

首先定义相机

• position $\vec{e}$
• look-at direction $\hat{g}$
• up direction $\hat{t}$
  只要相机与物体之间相对位置不变，拍出照片始终相同。为此，我们可以将相机移动到原点，看向$-z$轴方向，向上$y$轴方向。

因此，首先我们需要将其移动到原点，然后旋转使得方向对齐。

平移操作

$$T = \begin{pmatrix} 1&0&0&-x_e\\ 0&1&0&-y_e\\ 0&0&1&-z_e\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$$

对于旋转操作，我们可以从逆过程来考虑。考虑将正常坐标系旋转至原始矩阵。

Projection Transformation 投影变换

正交投影与透视投影

透视投影给人一种近大远小的感觉

正交投影

简单理解方式，摆好相机之后，将z轴方向扔掉。就可以在x，y平面上看到正交投影的结果。
一般来说，我们需要将结果缩放到$[-1,+1]^2$之间

透视投影

一些特点：

1. 近平面各个点不变
2. 原平面各个点z值不变
3. 中心点不变

$$\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} nx/z\\ny/z \\ unknown\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} xn\\yn\\unknown \\z \end{pmatrix}$$

根据上式，变换矩阵可以写为

$$\begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ ?&?&?&?\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}$$

根据特点123求解第三行
首先根据特点1，可得

$$z = n \\ \begin{pmatrix} nx/n\\ny/n\\n\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx\\ny\\n^2\\n \end{pmatrix}$$

不妨设第三行为

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = n^2$$

同理，根据2和3，对于远平面的中点，我们有

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} = f^2$$

解得

$$A = n + f, B = -nf$$