图像增强

空域处理法

直接对图像的像素进行操作，基本是以灰度映射为基础。

灰度直方图

灰度级的直方图:反映一幅图像中灰度与出现这种灰度的概率间关系

用直角坐标系的横轴代表灰度级 $r$，灰度级一般进行了归一化处理。
用纵轴代表灰度级的概率密度函数 $p_r(r)$

当然在数字图像中，我们引入离散的灰度级，对应图像中的单个像素

$$\begin{aligned}P_r(r_k)&=\frac{n_k}{n}&0\leq r_k\leq1\\k&=0,1,2,\cdots\cdots,l-1\end{aligned}$$

直方图性质：
只包含灰度频次，丢失位置信息

灰度变换

灰度变换就是指把$[a,b]$范围的灰度级转换至 $[a^{'},b^{'}]$

线性变换

$$g(x,y)=a^{'}+\frac{b^{'}-a^{'}}{b−a}(f(x,y)−a)$$

分段线性变换

为了突出某一段区间，或者抑制某些区间

$$g(x,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{c}{a}f(x,y)&\quad0\leq f(x,y)<a\\ \displaystyle\frac{d-c}{b-a}[f(x,y)-a]+c&\quad a\leq f(x,y)<b\\ \displaystyle\frac{N-d}{M-b}[f(x,y)-b]+d&\quad b\leq f(x,y)<M\end{cases}$$

或者限幅的分段线性变换，比如控制最大最小灰度级。

非线性变换

• 对数变换

$$g(x,y)=a+\frac{\ln(f(x,y)+1)}{b\cdot lnc}$$

• 指数变换

$$g(x,y){=}b^{c[f(x,y){-a}]}-1$$

根据图像的区别，两种变换对于低灰度级和高灰度级的拉伸、压缩效果不同。
比如，对数变化拉伸地灰度级，压缩高灰度级

其他变换

• 灰度反转

• 锯齿形转换
  把灰度变化较平缓的区域也较鲜明地显示出来。
  

• 开窗式转换
  只对部分输入灰度区间进行转换
  

直方图修改技术

变换函数要满足的性质

1. 在$0≤r≤1$区间内，$T(r)$单值单调增加
2. 对于$0≤r≤1$，有$0≤T(r)≤1$

概率论知识支承

如果知道原始随机变量的概率密度，同样知道转换后随机变量根据原始随机变量的对应取值（即知道转换函数），那么我们可以求出转换后随机变量的概率密度。

$$F_\eta(s)=P(\eta<s)=P[\xi<r]=\int_{-\infty}^rp_r(x)dx$$

求导有

$$p_S(s)=p_r(r)\cdot\frac{d}{ds}[T^{-1}(s)]=\Bigg[p_r(r)\cdot\frac{dr}{ds}\Bigg]_{r=T^{-1}(S)}$$

直方图均衡化技术

直方图均衡化处理是以累积分布函数变换为基础的直方图修正法

假定变换函数为如下形式：

$$s=T(r)=\int_0^rp_r\left(\omega\right)d\omega$$

那么有

$$\begin{aligned}&\frac{ds}{dr}=p_r(r)\\\\&p_S(s)=p_r(r)\cdot\frac{d}{ds}[T^{-1}(s)]=\Bigg[p_r(r)\cdot\frac{dr}{ds}\Bigg]_{r=T^{-1}(S)}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}p_S(s)=&\left[p_r(r)\cdot\frac{dr}{ds}\right]_{r=T^{-1}(s)}\\=&\left[p_r(r)\cdot\frac1{ds}\right]_{r=T^{-1}(s)}=\left[p_r(r)\cdot\frac1{p_r(r)}\right]=1\end{aligned}$$

此时变换后的变量s的概率密度是均匀分布的，即用$r$的累积分布函数作为变换函数可以产生一副灰度分布具有均匀概率密度的图像

那么得出结论：

直方图均衡化处理技术是用累积分布函数作变换函数的直方图修正方法
用累积分布函数作为变换函数可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像

离散：

求积分变成求和

直方图规定化

但其变换函数采用的是累积分布函数，它只能产生近似均匀的直方图这样一种结果

通过一个灰度映像函数，将原灰度直方图改造成所希望的直方图，是一种直方图修正增强方法。

噪声

噪声源：

• 高斯噪声
• 泊松噪声
• 颗粒噪声

信号关系：

• 加性噪声
• 乘性噪声（与图像信号相关）

平滑

空域

邻域平均法（四邻域、八邻域），不包含当前点

采用阈值法防止图像过于模糊

$$\begin{aligned}g(x,y)&=\left\{\frac1M\sum_{(m,n)\in s}f(m,n)\right.&&\text{若}\left|f(x,y)-\frac1M\sum_{(m,n)\in s}f(m,n)\right|>T\\f(x,y)&&\text{其他}\end{aligned}$$

频域

在分析图像信号的频率特性时，边缘、跳跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景则代表图像信号的低频分量